Cho tứ giác abcd hai đường chéo ac và bd cắt tại i chứng minh ac + bd lớn hơn ad + bc

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác.

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC và N là trung điểm của đoạn thẳng BD.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác AID, ta có:
AD + DI > AI
Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác BIC, ta có:
BI + IC > BC

Cộng hai bất đẳng thức trên lại, ta có:
AD + DI + BI + IC > AI + BC

Vì M là trung điểm của AC nên AM = MC. Tương tự, vì N là trung điểm của BD nên BN = ND.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác AIM, ta có:
AI + IM > AM
Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác BIN, ta có:
BI + IN > BN

Cộng hai bất đẳng thức trên lại, ta có:
AI + IM + BI + IN > AM + BN

Vì AM = MC và BN = ND, ta có:
AM + BN = MC + ND = AC + BD

Vậy, ta có:
AD + DI + BI + IC > AI + BC
AI + IM + BI + IN > AM + BN

Tổng cộng hai bất đẳng thức trên lại, ta có:
AD + DI + BI + IC + AI + IM + BI + IN > AI + BC + AM + BN
AD + DI + BI + IC + AI + IM + BI + IN > AC + BD

Do đó, ta có:
AC + BD > AD + DI + BI + IC

Vậy, ta đã chứng minh được rằng AC + BD lớn hơn AD + BC.