Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng tỏ rằng các số sau cũng nguyên tố cùng nhau: 3a+4b và 4a+5b

Để chứng minh rằng 3a + 4b và 4a + 5b cũng nguyên tố cùng nhau, ta sẽ sử dụng định lý Bézout.

Định lý Bézout: Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Tồn tại các số nguyên x và y sao cho ax + by = 1.

Vì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, theo định lý Bézout, tồn tại các số nguyên x1 và y1 sao cho ax1 + by1 = 1.

Giả sử 3a + 4b và 4a + 5b không nguyên tố cùng nhau. Tức là tồn tại một số nguyên tố p chia cả 3a + 4b và 4a + 5b.

Ta có:
(3a + 4b)(4a + 5b) - (4a + 5b)(3a + 4b) = 12ab + 15b^2 - 12ab - 16a^2 = 15b^2 - 16a^2

Vì p chia cả 3a + 4b và 4a + 5b, nên p cũng chia được hiệu (3a + 4b)(4a + 5b) - (4a + 5b)(3a + 4b) = 15b^2 - 16a^2.

Từ đó suy ra p cũng chia được 15b^2 và 16a^2.

Vì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, nên p không thể chia cả 15 và 16. Điều này dẫn đến mâu thuẫn, vì vậy giả định ban đầu là sai.

Vậy ta kết luận rằng 3a + 4b và 4a + 5b cũng nguyên tố cùng nhau.