Cho tam giác ABC ( AB < AC ), đường phân giác AD qua trung điểm M của BC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định lí về đường phân giác và đường thẳng song song.

a) Ta có tam giác ABC với đường phân giác AD. Gọi M là trung điểm của BC. Theo định lí về đường phân giác, ta có AM cắt BD tại N sao cho BN = ND.

Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC. Vì vậy, ta có tam giác BNC là tam giác cân tại N.

Do đó, ta có BN = NC. Vì BN = ND, ta có ND = NC.

Vì vậy, ta có tam giác NDC là tam giác cân tại N.

Do đó, ta có đường thẳng AD song song với đường thẳng MN.

Gọi O là giao điểm của AM và DK. Ta cần chứng minh rằng OA/OD = OM/OK.

Theo định lí của đường thẳng song song, ta có:

OA/OD = AM/MD (1)

OM/OK = AM/MD (2)

Từ (1) và (2), ta có OA/OD = OM/OK.

Vậy, câu a) đã được chứng minh.

b) Ta có tam giác ABC với AB = 5 cm, AC = 10 cm và BC = 12 cm.

Gọi D là giao điểm của đường thẳng song song với AD và AC.

Theo định lí của đường thẳng song song, ta có:

AD/AC = DM/DC

Vì AD = AC/2 (do AD là đường phân giác), ta có:

AC/2AC = DM/DC

1/2 = DM/DC

DM = DC/2

Vì vậy, ta có tam giác DMC là tam giác vuông tại M.

Áp dụng định lí Pythagoras vào tam giác DMC, ta có:

DC^2 = DM^2 + MC^2

DC^2 = (DC/2)^2 + (BC/2)^2

DC^2 = DC^2/4 + 6^2

3DC^2/4 = 36

DC^2 = 48

DC = √48 = 4√3 cm

Vậy, DC = 4√3 cm.

Đáp án: DC = 4√3 cm.