Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB ( Ax và By và nửa đường tròn cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Biết CD = a và BD = 3AC. CMR OC và OD vuông góc

a) Ta có:
- OC là đường phân giác góc AOB (vì OC là đường phân giác góc nửa đường tròn tại điểm C, và góc AOC và góc BOC đều bằng 90 độ).
- OD là đường phân giác góc AOB (vì OD là đường phân giác góc nửa đường tròn tại điểm D, và góc AOD và góc BOD đều bằng 90 độ).
Vậy OC và OD vuông góc.

b) Ta có:
- AC là đường phân giác góc ACD (vì AC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại điểm C).
- BD là đường phân giác góc BCD (vì BD là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại điểm D).
Vậy góc ACD và góc BCD bằng nhau.
Theo định lý đường phân giác, ta có:
AC/CD = AD/BD
AC/CD = AD/3AC
AC^2 = CD.AD/3
BD^2 = CD.AD
Tổng 2 vế ta được:
AC^2 + BD^2 = CD.AD/3 + CD.AD = 4CD.AD/3
Vậy tỉ số AC^2 + BD^2 / CD^2 = 4AD/3CD.

c) Diện tích tứ giác ACDB là:
S = Diện tích tam giác ACD + Diện tích tam giác BCD
S = (1/2)AC.CD + (1/2)BD.CD
S = (1/2)CD(AC + BD)
S = (1/2)CD(AC + 3AC)
S = (1/2)CD.4AC
S = 2AC.CD
Vậy diện tích tứ giác ACDB bằng 2AC.CD.