Gọi OA và OB là hai bán kính của đường tròn tâm (o;r)

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều:
Ta có góc AOB = 120 độ, vì OA và OB là hai bán kính của đường tròn nên OA = OB = R.
Gọi H là trung điểm của AB, ta có OH là đường trung trực của AB.
Vì tam giác OHA và OHB là tam giác vuông cân (OA = OH, OB = OH), nên ta có góc OAH = góc OBA = 30 độ.
Tương tự, ta có góc OBH = góc OAB = 30 độ.
Vậy tam giác OHA và OHB là tam giác đều.
Do đó, OH = OA = OB = R.
Vì tam giác OHA và OHB là tam giác đều, nên góc AHB = 60 độ.
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

b) Tính AB theo R:
Gọi x là độ dài của AB.
Ta có tam giác OHA là tam giác đều, nên AH = OA = R.
Vì tam giác OHA và tam giác AHB là tam giác đều, nên góc OAH = góc OHA = 30 độ.
Áp dụng định lý côsin trong tam giác OAH, ta có:
cos(30 độ) = AH/OA
√3/2 = R/R
√3 = x/R
Vậy AB = √3R.

c) Chứng minh CM.CN = AB²:
Gọi M là điểm cắt của CO và đường tròn tâm O.
Gọi N là điểm cắt của CO và đường tròn tâm O (N nằm giữa C và O).
Ta có CM.CN = CO² - MO² (định lý Pitago trong tam giác CMO)
Vì M nằm giữa C và N, nên CM + MN = CN.
Do đó, CM.CN = (CM + MN)² - MO²
= CM² + 2CM.MN + MN² - MO²
= (CM² - MO²) + 2CM.MN + MN²
= CO² + 2CM.MN + MN² (vì CM = CO)
= CO² + 2CM.MN + MN.MN
= (CO + MN)²
= CN²
Vậy CM.CN = CN² = AB².