Gọi OA và OB là hai bán kính của đường tròn tâm (o;r)

a) Ta có góc AOB = 120 độ, và góc ở tâm bằng góc ở ngoài cùng, nên góc ACB = 120/2 = 60 độ. Tương tự, góc BAC = 60 độ. Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

b) Ta có tam giác ABC là tam giác đều, nên các cạnh của tam giác đều bằng nhau. Gọi AB = BC = AC = x.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OAB, ta có:
OA² = OB² + AB²
r² = r² + x²
x² = 0
Vậy x = 0.

Do đó, AB = BC = AC = 0.

c) Ta có tam giác ABC là tam giác đều, nên các đường trung tuyến của tam giác đều cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi điểm đó là D.

Do tam giác ABC là tam giác đều, nên AD là đường cao của tam giác ABC. Vậy AD cắt BC tại trọng tâm của tam giác ABC, gọi là E.

Ta có: AE = 2/3 AD = 2/3 r.

Gọi M là giao điểm của CO và đường tròn tâm O. Ta có CM là đường cao của tam giác ABC, nên CM = 2/3 r.

Gọi N là giao điểm của CO và đường tròn tâm O (N nằm giữa C và O). Ta có CN là đường cao của tam giác ABC, nên CN = 2/3 r.

Vậy CM = CN = 2/3 r.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông COM, ta có:
CM² = CO² + OM²
(2/3 r)² = r² + OM²
4/9 r² = r² + OM²
OM² = 4/9 r² - r²
OM² = 1/9 r²

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông CON, ta có:
CN² = CO² + ON²
(2/3 r)² = r² + ON²
4/9 r² = r² + ON²
ON² = 4/9 r² - r²
ON² = 1/9 r²

Vậy CM.CN = (2/3 r)(2/3 r) = 4/9 r² = AB².