Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D,E theo thứ tự trên cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M,N,I,K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng MK = NI

Để chứng minh mk = ni, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với đường chéo DE, ta có:
$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AM}{MC} \cdot \frac{CE}{EB} = 1$

Vì BD = CE, nên ta có:
$\frac{AM}{MC} = 1$

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với đường chéo BE, ta có:
$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AK}{KC} \cdot \frac{CE}{EB} = 1$

Vì BD = CE, nên ta có:
$\frac{AK}{KC} = 1$

Từ đó, ta suy ra AM = MC và AK = KC.

Vì M là trung điểm của BE, nên ta có AM = MC = $\frac{1}{2}$BE.

Tương tự, vì N là trung điểm của CD, nên ta có AK = KC = $\frac{1}{2}$CD.

Từ đó, ta có $\frac{AM}{MC} = \frac{1}{2}$ và $\frac{AK}{KC} = \frac{1}{2}$.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với đường chéo MK, ta có:
$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AM}{MC} \cdot \frac{CK}{KB} = 1$

Thay các giá trị đã biết vào, ta có:
$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CK}{KB} = 1$

Vì AK = KC, nên ta có:
$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{AK}{KB} = 1$

Từ đó, ta suy ra $\frac{BD}{DA} = \frac{KB}{AK}$.

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với đường chéo NI, ta có:
$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AK}{KB} \cdot \frac{CE}{EB} = 1$

Thay các giá trị đã biết vào, ta có:
$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AK}{KB} \cdot \frac{CE}{EB} = 1$

Vì BD = CE, nên ta có:
$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AK}{KB} = 1$

Từ đó, ta suy ra $\frac{BD}{DA} = \frac{KB}{AK}$.

Vậy, ta có $\frac{BD}{DA} = \frac{KB}{AK}$ và $\frac{BD}{DA} = \frac{KB}{AK}$.

Từ đó, ta suy ra mk = ni.