Cho a^3 + b là lũy thừa của 2 và a + b^ cũng là lũy thừa của 2 . Chứng minh a=b

Để chứng minh a = b, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử a ≠ b. Khi đó, ta có:

a^3 + b = 2^k (1)
a + b^3 = 2^m (2)

Trừ cả hai phương trình này, ta được:

a^3 - b^3 + b - a = 2^k - 2^m

Áp dụng công thức a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2), ta có:

(a - b)(a^2 + ab + b^2) + b - a = 2^k - 2^m

(a - b)(a^2 + ab + b^2 - 1) = 2^k - 2^m

Vì a ≠ b, nên a - b ≠ 0. Do đó, ta có:

a^2 + ab + b^2 - 1 = 2^(k-m)

Ta sẽ chứng minh rằng a^2 + ab + b^2 - 1 không thể là một lũy thừa của 2.

Giả sử a^2 + ab + b^2 - 1 = 2^n, với n là một số nguyên dương.

Ta có:

a^2 + ab + b^2 = 2^n + 1

Vì a^2 + ab + b^2 là một số chẵn (vì a^2 và b^2 cùng chẵn hoặc cùng lẻ), nên 2^n + 1 cũng phải là số chẵn.

Tuy nhiên, 2^n + 1 không thể là số chẵn vì 2^n là số chẵn và 1 là số lẻ.

Vậy giả sử ngược a ≠ b là sai, tức là a = b.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng a = b.