Để chứng minh rằng BE = EC và AE = BC/2, ta sẽ sử dụng các định lí trong hình học tam giác.

Vì tam giác ABC có góc A = 90 độ và góc C = 30 độ, nên góc B = 180 - 90 - 30 = 60 độ.

Vì AB = BE, nên góc ABE = góc BAE (cùng là góc x).

Vì tam giác ABE là tam giác đều (AB = BE), nên góc AEB = 60 độ.

Vì góc AEB = 60 độ và góc ABE = góc BAE = x, nên góc ABE + góc AEB + góc BAE = 180 độ.

Từ đó, ta có: x + 60 + x = 180.

Simplifying the equation, we have: 2x + 60 = 180.

Subtracting 60 from both sides, we have: 2x = 120.

Dividing both sides by 2, we have: x = 60.

Vậy, góc ABE = góc BAE = 60 độ.

Vì góc ABE = góc BAE = 60 độ, nên tam giác ABE là tam giác cân tại đỉnh E.

Do đó, BE = EC.

Vì tam giác ABC có góc A = 90 độ và góc C = 30 độ, nên góc B = 180 - 90 - 30 = 60 độ.

Vì tam giác ABE là tam giác cân tại đỉnh E, nên góc AEB = góc ABE = 60 độ.

Vì góc AEB = 60 độ và góc B = 60 độ, nên tam giác AEB và tam giác BAC là hai tam giác đồng dạng.

Do đó, tỉ số đồng dạng giữa tam giác AEB và tam giác BAC là AE/AB = BC/AC.

Vì AE = AB (vì tam giác ABE là tam giác đều), nên AE/AB = 1.

Vì BC/AC = BC/(AB + AC) = BC/(AB + BC) (vì tam giác ABC có góc A = 90 độ), nên BC/AC = BC/(AB + BC) = BC/AB.

Vậy, AE/AB = BC/AB.

Dividing both sides by AB, we have: AE = BC.

Vậy, AE = BC/2.

Từ đó, ta đã chứng minh rằng BE = EC và AE = BC/2.