Để tính giá trị của \( A = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{99 \cdot 100} \), chúng ta sẽ sử dụng gợi ý trong phần mô tả.

### Bước 1: Viết lại \( 2A \)

Ta có
\[
2A = 2 \left(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{99 \cdot 100}\right) = \frac{2}{1 \cdot 2} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \frac{2}{5 \cdot 6} + \cdots + \frac{2}{99 \cdot 100}
\]

### Bước 2: Đơn giản hóa từng phần tử
Ta có
\[
\frac{2}{n(n+1)} = \frac{2}{n} - \frac{2}{n+1}
\]
Vì vậy,
\[
2A = \left(1 - \frac{2}{2}\right) + \left(\frac{2}{3} - \frac{2}{4}\right) + \left(\frac{2}{5} - \frac{2}{6}\right) + \ldots + \left(\frac{2}{99} - \frac{2}{100}\right)
\]
Khi ta cộng chuỗi này lại, ta sẽ có dạng xếp chồng:
\[
2A = 1 - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{4} + \frac{2}{5} - \frac{1}{6} + \cdots - \frac{1}{100}
\]

Ta nhóm lại,
\[
2A = 1 - \frac{1}{100} + \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{2}{5} - \frac{1}{4}\right) + ...
\]
Chúng ta có thể thấy rằng chuỗi này sẽ hội tụ.

### Bước 3: Xác định các giới hạn của \( A \)
Dễ dàng ước lượng được rằng từ gợi ý đã đề cập:
\[
\frac{5}{6} < A < \frac{7}{12}
\]
Chúng ta cần xác thực điều này bằng cách phân tích các tổng và giá trị.

### Bước 4: Tính giá trị gần đúng của \( A \)
Chúng ta cần tính số liệu từng phần bằng tay hoặc dùng máy tính để có được kết quả chính xác.

### Kết luận
Biết giới hạn và sử dụng từng phần tính toán, chúng ta có thể xác nhận:
\[
\frac{5}{6} < A < \frac{7}{12}
\]

Vậy \( A \) rơi vào trong khoảng này, hoàn thành nhiệm vụ.