a) Vì tam giác DEF cân tại D, nên DE = DF.
Vì EM vuông góc với DF, nên DM = MF.
Vì FN vuông góc với DE, nên DN = NE.
Do đó, ta có DM = MF và DN = NE.
Vậy tam giác DMN cân.
b) Vì tam giác DMN cân, nên góc DMN = góc DNM.
Vì tam giác DEF cân, nên góc DEF = góc DFE.
Vì góc DMN = góc DNM và góc DEF = góc DFE, nên ta có:
góc DMN + góc DEF = góc DNM + góc DFE.
Từ đó suy ra góc DMN + góc DFE = 180° (góc bù).
Vì MN là góc nội tiếp của tam giác DEF, nên góc DFE = góc DMN.
Vậy góc DMN + góc DMN = 180°.
Do đó, ta có MN // EF.
c) Vì EM vuông góc với DF, nên góc EMD = góc FMD.
Vì FN vuông góc với DE, nên góc FND = góc END.
Vì tam giác DMN cân, nên góc DMN = góc DNM.
Từ đó suy ra góc EMD + góc FND = góc FMD + góc END.
Vì góc EMD = góc FMD và góc FND = góc END, nên ta có:
góc EMD + góc FND = góc FMD + góc END.
Từ đó suy ra góc EMI = góc FNI.
Vì góc EMI = góc FNI, nên ta có tam giác EMI và tam giác FNI đồng dạng.
Do đó, ta có IE/IF = EM/FN.
Vì EM = FN (vì tam giác DMN cân), nên ta có IE = IF.
d) Vì tam giác DEF cân, nên góc DEF = góc DFE.
Vì tam giác DMN cân, nên góc DMN = góc DNM.
Từ đó suy ra góc DEF + góc DMN = góc DFE + góc DNM.
Vì góc DEF = góc DFE và góc DMN = góc DNM, nên ta có:
góc DEF + góc DMN = góc DFE + góc DNM.
Từ đó suy ra góc DEF + góc DEF = 180°.
Do đó, ta có góc DEF = 90°.
Vậy DI ⊥ EF.