a, Để giải tam giác ABC, ta sử dụng định lý Pythagoras:
Theo định lý Pythagoras, ta có:
AB^2 + AC^2 = BC^2
3^2 + 4^2 = BC^2
9 + 16 = BC^2
25 = BC^2
BC = 5 cm

b, Vì I là trung điểm của BC, nên BI = IC = BC/2 = 5/2 = 2.5 cm.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC và AH vuông góc với BC. Ta có thể tính AH bằng cách sử dụng công thức diện tích của tam giác:
Diện tích tam giác ABC = 1/2 * AB * AC = 1/2 * 3 * 4 = 6 cm^2

Diện tích tam giác ABC cũng có thể tính bằng công thức Heron:
p = (AB + AC + BC)/2 = (3 + 4 + 5)/2 = 6
Diện tích tam giác ABC = √(p(p-AB)(p-AC)(p-BC)) = √(6(6-3)(6-4)(6-5)) = √(6*3*2*1) = √36 = 6 cm^2

Vậy, diện tích tam giác ABC là 6 cm^2.

Áp dụng công thức diện tích tam giác, ta có:
AH = 2 * (Diện tích tam giác ABC) / BC = 2 * 6 / 5 = 12/5 = 2.4 cm

Vậy, AH = 2.4 cm.

Vì I là trung điểm của BC, nên AI = BI = IC = 2.5 cm.

Vậy, AI = 2.5 cm.