Để chứng minh rằng biểu thức (20242025^2)+(20242025.20242026)^2+(20242026^2) là số chính phương, ta cần chứng minh rằng nó có thể viết dưới dạng bình phương của một số nguyên.

Ta có:

(20242025^2)+(20242025.20242026)^2+(20242026^2)
= (20242025^2) + (20242025^2)(20242026^2) + (20242026^2)
= (20242025^2)(1 + 20242026^2) + (20242026^2)
= (20242025^2)(20242026^2 + 1) + (20242026^2)

Đặt a = 20242025 và b = 20242026, ta có:

(20242025^2)(20242026^2 + 1) + (20242026^2)
= a^2(b^2 + 1) + b^2
= a^2b^2 + a^2 + b^2
= (ab)^2 + a^2 + b^2

Biểu thức này có thể viết dưới dạng bình phương của một số nguyên nếu và chỉ nếu tồn tại một số nguyên k sao cho:

(ab)^2 + a^2 + b^2 = k^2

Ta có thể thấy rằng nếu chọn k = ab + 1, ta có:

(ab)^2 + a^2 + b^2 = (ab + 1)^2
= a^2b^2 + 2ab + 1
= a^2b^2 + a^2 + b^2 + ab + ab + 1
= (ab)^2 + a^2 + b^2 + ab + ab + 1

Vậy, ta đã chứng minh được rằng biểu thức (20242025^2)+(20242025.20242026)^2+(20242026^2) có thể viết dưới dạng bình phương của một số nguyên. Do đó, nó là một số chính phương.