Để chứng minh BH = CK, ta sẽ sử dụng định lí phân giác góc.

Gọi O là giao điểm của tia phân giác góc A với đường vuông góc đi qua M. Ta cần chứng minh BH = CK, hay BM = CM.

Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC.

Ta cần chứng minh góc BMO = góc CMO.

Vì O nằm trên tia phân giác góc A, ta có góc BMO = góc BMA và góc CMO = góc CMA.

Ta cần chứng minh góc BMA = góc CMA.

Vì I là giao điểm của tia phân giác góc A với đường vuông góc đi qua M, ta có góc BIA = góc CIA.

Vì góc BIA = góc CIA và góc BAI = góc CAI (vì AI là tia phân giác góc A), ta có tam giác ABI đồng dạng với tam giác ACI (theo góc - góc - góc).

Vì AB > AC, ta có BI > CI (vì đường phân giác chia tam giác thành hai nửa có tỉ lệ đúng).

Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC.

Vì BI > CI và BM = MC, ta có góc BMA > góc CMA (theo định lí phân giác góc).

Vậy, ta đã chứng minh góc BMA > góc CMA.

Từ đó, ta có góc BMO > góc CMO.

Vậy, ta đã chứng minh góc BMO = góc CMO.

Vậy, ta đã chứng minh BM = CM.

Do đó, ta có BH = CK.