Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7x^2 - 8x + 12xy + 9y^2 + 6y + 2028, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Đầu tiên, ta nhóm các thành phần có cùng biến số:
(7x^2 - 8x) + (12xy + 9y^2 + 6y) + 2028

Tiếp theo, ta cần hoàn thành khối vuông của từng nhóm thành phần. Để làm điều này, ta cần thêm vào từng nhóm thành phần một số hạng sao cho nó trở thành một khối vuông hoàn chỉnh.

Đối với nhóm (7x^2 - 8x), ta cần thêm vào số hạng (4)^2 = 16:
(7x^2 - 8x + 16)

Đối với nhóm (12xy + 9y^2 + 6y), ta cần thêm vào số hạng (3y)^2 = 9y^2:
(12xy + 9y^2 + 6y + 9y^2)

Cuối cùng, ta có:
(7x^2 - 8x + 16) + (12xy + 9y^2 + 6y + 9y^2) + 2028

Tiếp theo, ta cần nhân các nhóm thành phần để tạo thành các khối vuông hoàn chỉnh:
(7x^2 - 8x + 16) = (7x - 4)^2
(12xy + 9y^2 + 6y + 9y^2) = (3y + 2)^2

Vậy, biểu thức ban đầu có thể được viết lại thành:
(7x - 4)^2 + (3y + 2)^2 + 2028

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ban đầu, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của các khối vuông hoàn chỉnh. Vì các khối vuông hoàn chỉnh luôn không âm, nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức ban đầu là 2028.