Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là một điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn (M = A; B). Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và By tại C và D

Để chứng minh các phần a), b), c), ta sẽ sử dụng các định lý về tiếp tuyến và đường tròn.

a) Chứng minh CD = AC + BD:
Ta có:
∠ACB = 90° (góc nội tiếp chắn cung AB)
∠ADB = 90° (góc nội tiếp chắn cung AB)
Vì Ax và By là hai tiếp tuyến nên ∠ACB = ∠ADB.
Do đó, hai tam giác ACB và ADB đồng dạng (cùng có hai góc vuông).
Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng:
AC/AD = AB/AB = 1
Vậy AC = AD.
Tương tự, ta có tỉ số đồng dạng:
BD/BC = AB/AB = 1
Vậy BD = BC.
Từ đó, ta có:
CD = AC + BD.

b) Chứng minh AC.BD = R^2:
Ta có:
∠ACB = 90° (góc nội tiếp chắn cung AB)
∠ADB = 90° (góc nội tiếp chắn cung AB)
Vì Ax và By là hai tiếp tuyến nên ∠ACB = ∠ADB.
Do đó, hai tam giác ACB và ADB đồng dạng (cùng có hai góc vuông).
Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng:
AC/AD = AB/AB = 1
Vậy AC = AD.
Tương tự, ta có tỉ số đồng dạng:
BD/BC = AB/AB = 1
Vậy BD = BC.
Từ đó, ta có:
AC.BD = AC.BC = AD.BC = R^2.

c) Chứng minh OK ⊥ BC:
Ta có:
∠ACB = 90° (góc nội tiếp chắn cung AB)
∠ADB = 90° (góc nội tiếp chắn cung AB)
Vì Ax và By là hai tiếp tuyến nên ∠ACB = ∠ADB.
Do đó, hai tam giác ACB và ADB đồng dạng (cùng có hai góc vuông).
Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng:
AC/AD = AB/AB = 1
Vậy AC = AD.
Từ đó, ta có:
∠AKC = ∠AKB = ∠ACB = ∠ADB = ∠AKD
Vậy tứ giác AKCD là tứ giác cân.
Do đó, ta có:
OK ⊥ CD (đường phân giác của góc trong tứ giác cân vuông)
Và CD ⊥ BC (hai đường tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường kính)
Vậy OK ⊥ BC.