Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh : √a^2+b^2+√b^2+c^2+√c^2+a^2 > √2(a+b+c)

Ta có:
√a^2 + b^2 > a + b (bất đẳng thức tam giác)
√b^2 + c^2 > b + c
√c^2 + a^2 > c + a

Cộng 3 bất đẳng thức trên ta được:
√a^2 + b^2 + √b^2 + c^2 + √c^2 + a^2 > a + b + b + c + c + a
⇔ 2(a^2 + b^2 + c^2) + 2(√a^2 + b^2 + √b^2 + c^2 + √c^2 + a^2) > 2(a + b + c)

Đặt x = a^2 + b^2 + c^2 và y = √a^2 + b^2 + √b^2 + c^2 + √c^2 + a^2, ta có:
2x + 2y > 2(a + b + c)
⇔ x + y > a + b + c

Ta cần chứng minh x + y > √2(a + b + c)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
x + y ≥ 2√(xy)
⇔ x + y > 2√(xy)

Ta cần chứng minh 2√(xy) > √2(a + b + c)

Bình phương cả 2 vế ta được:
4xy > 2(a + b + c)
⇔ 2xy > a + b + c

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
2xy ≥ 2√(2xy)
⇔ 2xy > √2(a + b + c)

Vậy ta đã chứng minh được:
√a^2 + b^2 + √b^2 + c^2 + √c^2 + a^2 > √2(a + b + c)