Để chứng minh AB^2 = AM.AN, ta sử dụng định lí hình học về giao điểm của các tia tiếp tuyến và tia phân giác trong đường tròn.

Gọi M' là giao điểm của tia AM với đường tròn (O). Ta có:

∠AMB = 90° (do AB là tiếp tuyến tại B)
∠AM'B = 90° (do AM' là tiếp tuyến tại M')

Vậy tứ giác AM'BM là tứ giác nội tiếp.

Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác AM'BM, ta có:

AM'.BM + AB.M'M = AM.BM'

Vì M' nằm trên đường tròn (O), nên BM' = BN (đường kính của đường tròn).

Vì AM' là tiếp tuyến tại M', nên AM' = AM.

Thay các giá trị vào, ta có:

AM.BN + AB.M'M = AM.BM'

Vì AB là tiếp tuyến tại B, nên M'M = AB.

Thay AB = M'M vào, ta có:

AM.BN + AB.AB = AM.BM'

Vì AB = BM' = BN, nên ta có:

AM.BN + AB.AB = AM.AB

Chia cả hai vế của phương trình cho AB, ta được:

AM + AB = AM.AN

Vì AM + AB = AB + AM = AB^2, nên ta có:

AB^2 = AM.AN

Vậy ta đã chứng minh được rằng AB^2 = AM.AN.