Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định phương trình đường thẳng (d): y = mx + n (m khác 0) trong các trường hợp sau

a. Ta có hai điểm A(0,-3) và B(-1,1) trên đường thẳng (d). Gọi (x,y) là một điểm trên đường thẳng (d), ta có:
- Điểm A(0,-3) thỏa mãn phương trình y = mx + n, suy ra -3 = 0.m + n, hay n = -3.
- Điểm B(-1,1) thỏa mãn phương trình y = mx + n, suy ra 1 = -1.m + n, hay -m + n = 1.
Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:
-3 = 0.m + n
1 = -1.m + n
Giải hệ phương trình này, ta có m = -4 và n = -3.
Vậy phương trình đường thẳng (d) là y = -4x - 3.

b. Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 5x - 1, nên có cùng hệ số góc. Gọi (x,y) là một điểm trên đường thẳng (d), ta có:
y = mx + n
Với m là hệ số góc của đường thẳng (d), ta có m = 5.
Vậy phương trình đường thẳng (d) là y = 5x + n.
Đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = -2x + 3 tại một điểm trên trục tung, nghĩa là tồn tại một giá trị x sao cho y = -2x + 3 và y = 5x + n có cùng giá trị. Ta có:
-2x + 3 = 5x + n
Suy ra x = (3 - n)/7.
Để đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = -2x + 3 tại một điểm trên trục tung, ta cần xác định giá trị của n sao cho x = (3 - n)/7 là một số thực. Điều này xảy ra khi và chỉ khi 3 - n khác 0, hay n khác 3.
Vậy phương trình đường thẳng (d) là y = 5x + n, với n khác 3.

c. Đường thẳng (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng -2/3, nghĩa là khi x = 0, y = -2/3. Gọi (x,y) là một điểm trên đường thẳng (d), ta có:
y = mx + n
Với m là hệ số góc của đường thẳng (d), ta có m = (y - n)/x.
Đồng quy với hai đường thẳng y = 3x - 1 và y = x + 3, nghĩa là có điểm chung của đường thẳng (d) với hai đường thẳng này. Ta có hệ phương trình:
y = 3x - 1
y = x + 3
Giải hệ phương trình này, ta có x = 1 và y = 4.
Từ đó, ta có m = (4 - n)/1 = 4 - n.
Để đường thẳng (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng -2/3, ta cần xác định giá trị của n sao cho (4 - n)/1 = -2/3, hay 12 - 3n = -2.
Suy ra n = 14/3.
Vậy phương trình đường thẳng (d) là y = (4 - n)x + n, với n = 14/3.

d. Đường thẳng (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng -3, nghĩa là khi x = 0, y = -3. Gọi (x,y) là một điểm trên đường thẳng (d), ta có:
y = mx + n
Với m là hệ số góc của đường thẳng (d), ta có m = (y - n)/x.
Đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y = -3/4x + 7, nghĩa là hệ số góc của đường thẳng (d) là âm nghịch đảo của hệ số góc của đường thẳng này. Ta có:
m = -1/(-3/4) = 4/3.
Từ đó, ta có m = (y - n)/x = 4/3.
Để đường thẳng (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng -3, ta cần xác định giá trị của n sao cho (4/3)x + n = -3, hay n = -3 - (4/3)x.
Vậy phương trình đường thẳng (d) là y = (4/3)x + (-3 - (4/3)x), hay y = (4/3)x - 3 - (4/3)x, hay y = -3.