Cho (O) đường kính EM = 2R. Trên (O) lấy I sao cho EI = R. Kẻ tiếp tuyến M (O). Qua O kẻ đường thẳng song song với EI cắt tiếp tuyến tại M ở H

a) Ta có:
- Gọi N là giao điểm của tiếp tuyến tại M và đường thẳng song song với EI.
- Gọi K là giao điểm của tiếp tuyến tại M và đường thẳng qua O song song với tiếp tuyến tại M.
- Gọi J là giao điểm của tiếp tuyến tại M và đường thẳng qua O song song với đường tròn (o).

Ta cần chứng minh IH là tiếp tuyến của (o), tức là chứng minh I, H, N thẳng hàng.

Theo định lí tiếp tuyến, ta có:
- $\angle{MNE} = \angle{MEN} = \angle{MIE} = \angle{MJI}$ (do MN là tiếp tuyến của (o), ME là tiếp tuyến của (o), MI là tiếp tuyến của (o)).
- $\angle{MKN} = \angle{MKN} = \angle{MHN} = \angle{MJI}$ (do MK là tiếp tuyến của (o), MH là tiếp tuyến của (o), MJ là tiếp tuyến của (o)).

Vậy ta có $\angle{MNE} = \angle{MKN}$, suy ra I, H, N thẳng hàng. Do đó, IH là tiếp tuyến của (o).

b) Ta có:
- $\angle{HIM} = \angle{HNM}$ (do IH là tiếp tuyến của (o), MN là tiếp tuyến của (o)).
- $\angle{HMI} = \angle{HNI}$ (do IH là tiếp tuyến của (o), MN là tiếp tuyến của (o)).

Vậy ta có $\triangle{HIM} \sim \triangle{HNM}$ (theo góc).

Theo định lí tỉ số đồng dạng, ta có:
$\frac{HI}{HN} = \frac{HM}{HM}$
$\Rightarrow \frac{HI}{R} = \frac{HM}{HM}$
$\Rightarrow HI = R$

Vậy chu vi của tam giác HIM là $HI + HM + MI = R + 2R + R = 4R = 4 \times 8 = 32$ (với R = 8).