Cho C=1-5+5²-5³+....+5¹⁰⁰-5¹⁰¹. Chứng minh C chia hết cho 21. Tìm dư phép chia C cho 124

Để chứng minh C chia hết cho 21, ta sẽ sử dụng định lý chia hết của dãy số.

Đầu tiên, ta thấy rằng dãy số 1, -5, 5², -5³,... là một dãy số hình thành bởi cấp số nhân với công bội là -5. Ta có công thức tổng của cấp số nhân:

S = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong đó, S là tổng của cấp số nhân, a là số hạng đầu tiên, r là công bội, n là số lượng số hạng.

Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân vào dãy số 1, -5, 5², -5³,..., ta có:

C = 1 * (5¹⁰¹ - 1) / (5 - 1) - 5 * (5¹⁰⁰ - 1) / (5 - 1)

C = (5¹⁰¹ - 1) / 4 - 5 * (5¹⁰⁰ - 1) / 4

C = (5¹⁰¹ - 5 * 5¹⁰⁰ + 1) / 4

C = (5¹⁰⁰ * (5 - 1) + 1) / 4

C = (5¹⁰⁰ * 4 + 1) / 4

C = (5¹⁰⁰ + 1) + 1/4

Ta thấy rằng 5 chia hết cho 5 và 21, nên 5¹⁰⁰ chia hết cho 5 và 21. Do đó, (5¹⁰⁰ + 1) chia hết cho 5 và 21.

Vì vậy, C chia hết cho 21.

Tiếp theo, để tìm dư phép chia C cho 124, ta sẽ sử dụng định lý chia dư của dãy số.

Ta biết rằng dãy số 1, -5, 5², -5³,... là một dãy số hình thành bởi cấp số nhân với công bội là -5. Ta có công thức tổng của cấp số nhân:

S = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong đó, S là tổng của cấp số nhân, a là số hạng đầu tiên, r là công bội, n là số lượng số hạng.

Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân vào dãy số 1, -5, 5², -5³,..., ta có:

C = 1 * (5¹⁰¹ - 1) / (5 - 1) - 5 * (5¹⁰⁰ - 1) / (5 - 1)

C = (5¹⁰¹ - 1) / 4 - 5 * (5¹⁰⁰ - 1) / 4

C = (5¹⁰¹ - 5 * 5¹⁰⁰ + 1) / 4

C = (5¹⁰⁰ * (5 - 1) + 1) / 4

C = (5¹⁰⁰ * 4 + 1) / 4

C = (5¹⁰⁰ + 1) + 1/4

Ta thấy rằng 5 chia hết cho 124, nên 5¹⁰⁰ chia dư cho 124 là 1. Do đó, (5¹⁰⁰ + 1) chia dư cho 124 cũng là 1.

Vì vậy, dư phép chia C cho 124 là 1.