a) Ta có:
- Bx là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) nên OB vuông Bx (chính là đường tiếp tuyến tại B).
- Từ A thuộc nửa đường tròn (O), ta có OA vuông Ax (chính là đường tiếp tuyến tại A).
- Vì Ax và Bx là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất của tiếp tuyến chung, ta có Ax // Bx.
- Do đó, ta có OB // Ax và OB vuông Bx, suy ra OD vuông BE (vì OD là đường phân giác của góc BOx).

b) Ta có:
- Từ tính chất của tiếp tuyến, ta có BD = DE (vì BD là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và đường tròn (O) nên BD = DE).
- Vì OD vuông BE, nên ta có tứ giác ODBE là tứ giác điều hòa (vì OD là đường phân giác của góc BOx).
- Theo định lý Ptolemy, ta có: OD . BE = OB . DE + OE . BD.
- Vì OB = OE (vì OB, OE là bán kính của đường tròn (O)), và BD = DE, nên ta có: OD . BE = OB . DE + OE . BD = OB . DE + OB . BD = OB . (DE + BD) = OB . DB.
- Vì DA là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và đường tròn (O), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có DA = DB.
- Vậy, ta có: OD . BE = OB . DB = DA . OB.
- Do đó, ta có DI. DO = DA . DC.

c) Ta có:
- EH vuông góc với BC tại H (vì EH là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và đường tròn (O)).
- Ta có tứ giác ODBE là tứ giác điều hòa (vì OD là đường phân giác của góc BOx).
- Theo định lý Ptolemy, ta có: OD . BE = OB . DE + OE . BD.
- Vì OB = OE (vì OB, OE là bán kính của đường tròn (O)), và BD = DE, nên ta có: OD . BE = OB . DE + OE . BD = OB . DE + OB . BD = OB . (DE + BD) = OB . DB.
- Vì DA là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và đường tròn (O), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có DA = DB.
- Vậy, ta có: OD . BE = OB . DB = DA . OB.
- Do đó, ta có tứ giác ODBE là tứ giác điều hòa.
- Khi đó, ta có J là trung điểm của DE (vì EH là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và đường tròn (O)).
- Vì I là giao điểm của OD và BE, nên I là trung điểm của OB (vì OD là đường phân giác của góc BOx).
- Do đó, ta có IJ // BC (vì I và J là hai trung điểm của hai cạnh của tứ giác ODBE).