Để chứng minh các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng các định lý và quy tắc trong hình học Euclid.

1) Ta có OA = OB (điều kiện đã cho). Ta cũng có OM = ON (điều kiện đã cho). Vì OA = OB và OM = ON, nên theo định lý cạnh-cạnh-cạnh, ta có ΔOAN = ΔOBM.

2) Ta cũng có AM = BN (vì OA = OB và OM = ON). Vì AM = BN, nên theo định lý cạnh-cạnh-cạnh, ta có ΔAMN = ΔBNM.

3) Ta đã chứng minh được ΔOAN = ΔOBM (điều 1). Vì OA = OB, nên theo định lý cạnh-góc-cạnh, ta có góc AON = góc BOM. Tương tự, vì OM = ON, nên góc MON = góc NOB. Vậy ΔOMN, ΔOAB cân.

4) Ta đã chứng minh được ΔAMN = ΔBNM (điều 2). Vì ΔAMN = ΔBNM, nên góc AMN = góc BNM. Vì OA = OB, nên theo định lý góc-góc-góc, ta có góc AOB = góc MON. Vậy MN // AB.

5) Gọi I là giao điểm của BM và AN.

5.1) Ta đã chứng minh được ΔOAN = ΔOBM (điều 1). Vì ΔOAN = ΔOBM, nên góc OAN = góc OBM. Vì OI là đường phân giác của góc xOy, nên OI chia góc OAN thành hai góc bằng nhau và chia góc OBM thành hai góc bằng nhau. Vậy OI là tia phân giác của góc xOy.

5.2) Ta đã chứng minh được ΔAMN = ΔBNM (điều 2). Vì ΔAMN = ΔBNM, nên góc AMN = góc BNM. Vì OI là tia phân giác của góc xOy, nên OI chia góc AMN thành hai góc bằng nhau và chia góc BNM thành hai góc bằng nhau. Vậy OI là đường trung trực của MN.

5.3) Ta đã chứng minh được ΔOAN = ΔOBM (điều 1). Vì ΔOAN = ΔOBM, nên góc OAN = góc OBM. Vì OI là tia phân giác của góc xOy, nên OI vuông góc với AB.

5.4) Ta đã chứng minh được ΔOAN = ΔOBM (điều 1). Vì ΔOAN = ΔOBM, nên góc OAN = góc OBM. Vì OI là tia phân giác của góc xOy, nên OI chia góc OAN thành hai góc bằng nhau và chia góc OBM thành hai góc bằng nhau. Vậy OI là đường trung trực của AB.