a) Ta có ID = IA, và IB = IC (do I là trung điểm của BC), nên tam giác AID và tam giác BIC là tam giác đều. Vì vậy, góc AID = góc BIC = 90 độ.
Do đó, ta có góc ADB = góc AID + góc BID = 90 độ + 90 độ = 180 độ.
Vậy, tam giác ADB là tam giác có tổng các góc bằng 180 độ, nên là tam giác hình chữ nhật.

b) Ta có BA = BE (do E là điểm trên tia AB sao cho BA = BE).
Vì IB = IC (do I là trung điểm của BC), nên tam giác BIC là tam giác cân.
Do đó, góc BIC = góc BCI = góc CBI.
Vậy, góc BEC = góc BIC = góc BCI = góc CBI.
Vậy, tam giác BEC là tam giác có hai góc bằng nhau, nên là tam giác hình bình hành.

c) Ta có EI là đường chéo của hình bình hành BEDC, nên EI chia BD thành hai phần bằng nhau.
Gọi K là điểm cắt của EI và BD. Ta cần chứng minh rằng KI = 1/2EK.
Vì EI chia BD thành hai phần bằng nhau, nên KI = KD.
Vì BEDC là hình bình hành, nên BD song song với EC.
Vậy, tam giác EKI và tam giác ECK là tam giác đồng dạng (có cạnh chung và hai góc bằng nhau).
Vì vậy, ta có EK/EC = EK/BD = EK/KD.
Do EK = KD, nên EK/EC = 1/2.
Vậy, KI = 1/2EK.