a, Ta có AH ⊥ AB và AH ⊥ AC, nên AM ⊥ AC và AN ⊥ AB.
Vì AM ⊥ AC và AM ⊥ HN, nên AM ⊥ HN.
Tương tự, AN ⊥ HM.
Do đó, tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

b, Ta có I là trung điểm của HC, nên HI = IC.
Vì I là trung điểm của AK, nên AI = IK.
Vì AM ⊥ AC và AN ⊥ AB, nên AM || HN và AN || HM.
Do đó, góc HAN = góc HMA và góc HAM = góc HNA.
Vì AMHN là hình chữ nhật, nên góc HAN = góc HMA = góc HAM = góc HNA.
Vì AI = IK, nên góc HAI = góc HIA.
Vậy, tam giác HAI và HAC là hai tam giác đồng dạng.
Do đó, góc HAC = góc HAI = góc HIA = góc HAN = góc HMA.
Vậy, AC || HK.

c, Ta có MN ⊥ AB và MN ⊥ AC.
Vì AM ⊥ AC và AM ⊥ HN, nên AM ⊥ HN.
Tương tự, AN ⊥ HM.
Do đó, tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
Vì AMHN là hình chữ nhật, nên góc HAN = góc HMA = góc HAM = góc HNA.
Vì MN ⊥ AB và MN ⊥ AC, nên góc HAN = góc HMA = góc HAM = góc HNA = góc MNC = góc NMC.
Vậy, tam giác MNC là tam giác cân.
Vì MN ⊥ AB, nên MN ⊥ HK.
Vậy, MN || HK.
Vì MN || HK và MN ⊥ AB, nên MNCK là hình thang cân.

d, Ta có MN ⊥ AB và MN ⊥ AC.
Vì MN ⊥ AB, nên MN ⊥ AH.
Vì MN ⊥ AC, nên MN ⊥ CO.
Do đó, MN là đường cao của tam giác ACO.
Vì MNCK là hình thang cân, nên MN || CK.
Vậy, MN || CK và MN ⊥ AH, nên MN là đường cao của tam giác AKH.
Vậy, MN là đường cao chung của hai tam giác ACO và AKH.
Vì MN là đường cao chung của hai tam giác ACO và AKH, nên MN cắt AH tại O và CO cắt AK tại D.
Vì MN là đường cao của tam giác AKH, nên AK ⊥ MN.
Vì MN là đường cao của tam giác ACO, nên CO ⊥ MN.
Vậy, AK ⊥ CO.
Vì AK ⊥ CO và AK || MN, nên AKOC là hình chữ nhật.
Vì AKOC là hình chữ nhật, nên AK = OC.
Vì AK = OC và AK = 2AD, nên 2AD = OC = AK.
Vậy, AK = 3AD.