LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Chứng minh rằng a^5 + b^5 + c^5 chia hết cho 30

cho a , b ,c nguyên thỏa mãn a + b + c = 0 
chứng minh rằng a^5 + b^5 + c^5 chia hết cho 30
1 trả lời
Hỏi chi tiết
155
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh rằng a^5 + b^5 + c^5 chia hết cho 30, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ.

Đầu tiên, ta có:
a^5 + b^5 + c^5 - (a + b + c)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4) = 0

Vì a + b + c = 0, nên ta có:
a^5 + b^5 + c^5 = (a + b + c)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4)

Ta sẽ chứng minh rằng a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4 chia hết cho 30.

Vì a + b + c = 0, nên ta có:
a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4 = (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4) - (a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4 + b^3c - b^2c^2 + bc^3 - c^4)
= a^4 + b^4 + c^4 - (a^3b + ab^3) + (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) - (b^3c + bc^3) - (a^3b + ab^3) + (a^4 + b^4 + c^4)
= 2(a^4 + b^4 + c^4) - 2(a^3b + ab^3 + b^3c + bc^3) + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)
= 2(a^2 + b^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)

Vì a + b + c = 0, nên ta có:
a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 0 - 2(ab + bc + ca) = -2(ab + bc + ca)

Vậy:
a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4 = 2(a^2 + b^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
= 2(-2(ab + bc + ca))(-2(ab + bc + ca) - ab - bc - ca)
= 2(-2(ab + bc + ca))(-3(ab + bc + ca))
= 12(ab + bc + ca)^2

Vì a + b + c = 0, nên ta có:
ab + bc + ca = (a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2) = 0 - (-2(ab + bc + ca)) = 2(ab + bc + ca)

Vậy:
a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4 = 12(ab + bc + ca)^2 = 12(2(ab + bc + ca))^2 = 48(ab + bc + ca)^2

Ta thấy rằng 48 chia hết cho 30, nên để chứng minh a^5 + b^5 + c^5 chia hết cho 30, ta chỉ cần chứng minh rằng (ab + bc + ca)^2 chia hết cho 30.

Vì ab + bc + ca = 2(ab + bc + ca), nên ta có:
(ab + bc + ca)^2 = (2(ab + bc + ca))^2 = 4(ab + bc + ca)^2

Ta thấy rằng 4 chia hết cho 30, nên (ab + bc + ca)^2 chia hết cho 30.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng a^5 + b^5 + c^5 chia hết cho 30 khi a + b + c = 0.
1
0
Linhchann
08/12/2023 21:01:45
+5đ tặng

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Trắc nghiệm Toán học Lớp 8 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư