Để chứng minh rằng a^5 + b^5 + c^5 chia hết cho 30, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ.

Đầu tiên, ta có:
a^5 + b^5 + c^5 - (a + b + c)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4) = 0

Vì a + b + c = 0, nên ta có:
a^5 + b^5 + c^5 = (a + b + c)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4)

Ta sẽ chứng minh rằng a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4 chia hết cho 30.

Vì a + b + c = 0, nên ta có:
a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4 = (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4) - (a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4 + b^3c - b^2c^2 + bc^3 - c^4)
= a^4 + b^4 + c^4 - (a^3b + ab^3) + (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) - (b^3c + bc^3) - (a^3b + ab^3) + (a^4 + b^4 + c^4)
= 2(a^4 + b^4 + c^4) - 2(a^3b + ab^3 + b^3c + bc^3) + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)
= 2(a^2 + b^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)

Vì a + b + c = 0, nên ta có:
a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 0 - 2(ab + bc + ca) = -2(ab + bc + ca)

Vậy:
a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4 = 2(a^2 + b^2 + c^2)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
= 2(-2(ab + bc + ca))(-2(ab + bc + ca) - ab - bc - ca)
= 2(-2(ab + bc + ca))(-3(ab + bc + ca))
= 12(ab + bc + ca)^2

Vì a + b + c = 0, nên ta có:
ab + bc + ca = (a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2) = 0 - (-2(ab + bc + ca)) = 2(ab + bc + ca)

Vậy:
a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4 - b^3c + b^2c^2 - bc^3 + c^4 = 12(ab + bc + ca)^2 = 12(2(ab + bc + ca))^2 = 48(ab + bc + ca)^2

Ta thấy rằng 48 chia hết cho 30, nên để chứng minh a^5 + b^5 + c^5 chia hết cho 30, ta chỉ cần chứng minh rằng (ab + bc + ca)^2 chia hết cho 30.

Vì ab + bc + ca = 2(ab + bc + ca), nên ta có:
(ab + bc + ca)^2 = (2(ab + bc + ca))^2 = 4(ab + bc + ca)^2

Ta thấy rằng 4 chia hết cho 30, nên (ab + bc + ca)^2 chia hết cho 30.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng a^5 + b^5 + c^5 chia hết cho 30 khi a + b + c = 0.