Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm \(xcosx\):
\((xcosx)' = x'cosx + x(cosx)' = cosx - xsinx\)

Tiếp theo, ta tính tích phân của hàm \(xcosx\) và \(cosx\):
\(\int (xcosx)' dx = \int (cosx - xsinx) dx = \int cosx dx - \int xsinx dx\)

Từ đó, ta có:
\(\int (xcosx)' dx = \int cosx dx - \int xsinx dx\)

Vì \(\int (xcosx)' dx = xcosx + C\) (với C là hằng số), nên ta có:
\(xcosx + C = \int cosx dx - \int xsinx dx\)

Tích phân của hàm \(cosx\) là \(\int cosx dx = sinx + C_1\) (với \(C_1\) là hằng số), và tích phân của hàm \(xsinx\) là \(\int xsinx dx = -xcosx + \int cosx dx = -xcosx + sinx + C_2\) (với \(C_2\) là hằng số).

Vậy, ta có:
\(xcosx + C = sinx + C_1 - (-xcosx + sinx + C_2)\)

Simplifying the equation, we get:
\(xcosx + C = 2sinx + C_1 + C_2 + xcosx\)

Loại bỏ các thành phần trùng nhau, ta có:
\(0 = 2sinx + C_1 + C_2\)

Vậy, \(\int xsinxdx = -2sinx + C\) (với C là hằng số).