ABCD là hình thang, m là trung điểm của CD, e là giao điểm của AC và BM, F là giao của BD và AM,

a. Ta có m là trung điểm của cd, nên cm = md. Vì m là trung điểm của cd nên am cắt cd tại một điểm nằm ở giữa cm và md. Do đó, ta có am = mc = md.

Từ tam giác ame, ta có:
ea/ec = am/em (định lí đồng tỉ)
= mc/em (vì am = mc)
= cd/em (vì mc = md)
= 2ab/cd (vì cd = 2ab)

Vậy ea/ec = 2ab/cd.

b. Ta có ef là đường chéo của hình thang abcd, nên ef song song với cd.

Vậy ef//cd.

c. Ta có ef là đường chéo của hình thang abcd, nên ef cắt bc và ad tại g và h.

Từ tam giác ame, ta có:
ge/em = ga/ea (định lí đồng tỉ)
= ga/(2ab/cd) (vì ea/ec = 2ab/cd)
= cd/(2ab) * ga (đổi vị trí tỉ số)

Từ tam giác bdf, ta có:
fh/fd = fa/fa (định lí đồng tỉ)
= ba/ab (vì fa = ba)
= cd/(2ab) * ga (đổi vị trí tỉ số)

Vậy ge/em = fh/fd.

Do đó, ge = ef = fh.

d. Ta có o là giao điểm của ac và bd, nên o nằm trên đường chéo ef của hình thang abcd.

Từ tam giác aem, ta có:
om/em = oa/ea (định lí đồng tỉ)
= oa/(2ab/cd) (vì ea/ec = 2ab/cd)
= cd/(2ab) * oa (đổi vị trí tỉ số)

Từ tam giác cdm, ta có:
dm/md = dc/cd (định lí đồng tỉ)
= dc/(2ab) * oa (vì cd = 2ab)

Từ tam giác bdf, ta có:
dg/fd = db/bd (định lí đồng tỉ)
= db/(2ab) * oa (vì bd = 2ab)

Vậy om, dg, CH đồng quy.