Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ phân giác CD của góc ACB (D thuộc AB)

Để chứng minh các điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí và tính chất của tam giác.

1. Ta có góc CAD = góc DAE (do AD song song với BC), góc ACD = góc AED (do CD song song với BF). Vì góc CAD = góc ACD (tam giác ABC cân tại A), nên ta có góc DAE = góc AED.

Từ đó, ta có hai tam giác ADE và ADF có cặp góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng. Do đó, ta có AD/AF = AE/AD, hay AD^2 = AE.AF.

Tương tự, ta có hai tam giác ADE và AEC có cặp góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng. Do đó, ta có AD/AE = DE/EC, hay AD^2 = DE.EC.

Từ hai biểu thức trên, ta có AE.AF = DE.EC, hay AE/EC = DE/AF.

Vì góc ACF = góc ECD (do CF song song với DE), nên ta có hai tam giác ACF và ECD đồng dạng. Do đó, ta có AC/EC = CF/CD.

Từ hai biểu thức trên, ta có AE/EC = AC/EC - CF/CD = AC/CD - CF/CD = AF/CD.

Vậy ta có AE/EC = AF/CD, hay AE.CD = AF.EC.

Từ đó, ta có tam giác CDF đồng dạng với tam giác CDK (do có cặp góc bằng nhau), nên ta có tam giác CDF = tam giác CDK.

2. Ta đã chứng minh được tam giác CDF = tam giác CDK. Vì góc CDF = góc CDK (do tam giác CDF = tam giác CDK), nên ta có góc CDF = góc CDK = 180 - góc DCF - góc DCK = 180 - góc DCF - góc DCE.

Vì góc DCF = góc DCE (do CD song song với BF), nên ta có góc CDF = 180 - 2góc DCF.

Tương tự, ta có góc CDK = 180 - 2góc DCK.

Vì góc CDF = góc CDK, nên ta có 180 - 2góc DCF = 180 - 2góc DCK, hay góc DCF = góc DCK.

Vậy ta có tam giác DEC cân tại E.

3. Ta có góc BAC = góc DAE (do AD song song với BC), góc BAC = góc MAC (do AM là tia phân giác của góc BAC).

Vì góc DAE = góc MAC, nên ta có hai tam giác ADE và AMC đồng dạng. Do đó, ta có AD/AM = AE/AC.

Từ đó, ta có AD = AM.(AE/AC).

Vì tam giác DEC cân tại E, nên ta có DE = EC.

Từ đó, ta có AD = AM.(DE/AC).

Vì tam giác CDF = tam giác CDK, nên ta có CF = CK.

Từ đó, ta có 4MD = 4AM.(DE/AC) = CF.(DE/AC) = CF.

Vậy ta có 4MD = CF.

Vậy ta đã chứng minh được các điều phải chứng minh.