a) Để chứng minh định lí này, ta sẽ sử dụng nguyên lý cắt giao của các đường thẳng.

Giả sử có 3 đường thẳng AB, CD và EF, trong đó đường thẳng AB cách đường thẳng CD và EF, và trong số các góc tạo thành bởi các đường thẳng này có 1 cặp góc sole (góc bằng nhau).

Ta cần chứng minh rằng các cặp góc trong cùng phía của đường thẳng AB đối xứng qua đường thẳng CD.

Gọi góc sole là góc x, và các góc trong cùng phía là góc y và góc z.

Theo giả thiết, góc x = góc y.

Ta sẽ chứng minh rằng góc z = góc y.

Vì AB cách CD và EF, nên ta có:

góc y + góc z = 180° (góc xung quanh tại điểm A)

góc x + góc y = 180° (góc xung quanh tại điểm B)

Do đó, góc y + góc z = góc x + góc y

Simplifying, ta có:

góc z = góc x

Vậy, các cặp góc trong cùng phía của đường thẳng AB đối xứng qua đường thẳng CD.

b) Để chứng minh định lí này, ta sẽ sử dụng nguyên lý cắt giao của các đường thẳng và tính chất của góc phân giác.

Giả sử có 2 góc kề ABC và CBD, trong đó tia BD là tia phân giác của góc ABC và góc CBD.

Ta cần chứng minh rằng góc ABC và góc CBD tạo thành góc vuông.

Gọi góc ABC là góc x và góc CBD là góc y.

Vì tia BD là tia phân giác của góc ABC và góc CBD, nên ta có:

góc x + góc y = 180° (góc xung quanh tại điểm B)

Vì góc kề ABC và CBD bù nhau, nên ta có:

góc x + góc y = 180°

Simplifying, ta có:

góc x = 90°

Vậy, góc ABC và góc CBD tạo thành góc vuông.