Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Từ B kẻ Bx vuông góc AB, từ C kẻ Cy vuông góc AC. Bx cắt Cy ở M. CM: BHCM là HBH

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học tam giác và đường cao của tam giác.

1. Vì tam giác ABC có 3 góc nhọn, nên đường cao BE và CF cắt nhau tại một điểm duy nhất H.

2. Từ B kẻ đường vuông góc AB cắt đường CF tại điểm M. Từ C kẻ đường vuông góc AC cắt đường BE tại điểm N.

3. Ta cần chứng minh rằng IH = IN.

4. Ta cần chứng minh rằng tam giác BCMN là hình chữ nhật.

5. Ta cần chứng minh rằng tam giác CMN vuông góc với đường EF.

Để chứng minh các điều trên, ta sẽ sử dụng các định lý và quy tắc hình học sau:

- Định lý Pythagoras: Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.

- Quy tắc cắt tỷ lệ: Trong một tam giác, nếu hai đường thẳng song song cắt hai đường thẳng khác, thì tỷ lệ giữa các đoạn thẳng cắt được trên các đường thẳng song song là bằng tỷ lệ giữa các đoạn thẳng gốc.

- Định lý thales: Trong một tam giác, nếu có một đường song song với một cạnh và cắt hai cạnh còn lại, thì tỷ lệ giữa các đoạn thẳng cắt được trên các cạnh là bằng tỷ lệ giữa các đoạn thẳng gốc.

- Định lý Euclid: Trong một tam giác, đường cao cắt đường bình định tại một điểm nằm trong tam giác.

Để chứng minh IH = IN, ta sẽ sử dụng định lý Euclid. Vì đường cao BE cắt đường bình định CF tại điểm H, nên ta có tam giác BHC vuông tại H. Do đó, ta có BH^2 + HC^2 = BC^2 (theo định lý Pythagoras).

Tương tự, ta có tam giác BMA vuông tại M và tam giác CNA vuông tại N. Do đó, ta có BM^2 + MA^2 = BA^2 và CN^2 + NA^2 = CA^2.

Từ các phương trình trên, ta có:
BH^2 + HC^2 + BM^2 + MA^2 = BC^2 + BA^2
⇒ BH^2 + BM^2 + HC^2 + MA^2 = BC^2 + BA^2
⇒ BH^2 + BM^2 + HC^2 + NA^2 = BC^2 + CA^2
⇒ BH^2 + BM^2 + HC^2 + NA^2 = BC^2 + CA^2 + BA^2

Vì BM^2 + MA^2 = BA^2 và CN^2 + NA^2 = CA^2, nên ta có:
BH^2 + HC^2 + BM^2 + NA^2 = BC^2 + CA^2 + BA^2
⇒ BH^2 + HC^2 + BM^2 + NA^2 = BC^2 + CA^2 + BA^2
⇒ BH^2 + HC^2 + BM^2 + NA^2 = BC^2 + CA^2 + BA^2

Do đó, ta có IH^2 + HM^2 = IN^2 + NA^2.

Vì IH = IN, nên ta có HM^2 = NA^2.

Từ đó, ta suy ra HM = NA.

Vậy ta đã chứng minh được IH = IN.

Để chứng minh tam giác BCMN là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng quy tắc cắt tỷ lệ và định lý Thales.

Vì BM // AC và CN // AB, nên ta có:
BM/AC = MH/HC và CN/AB = NH/HB.

Từ đó, ta suy ra:
BM/AC = MH/HC = NH/HB.

Do đó, ta có MH/HC = NH/HB.

Vì IH = IN, nên ta có MH/HC = NH/HB = IH/IN.

Từ đó, ta suy ra MH = NH.

Vậy ta đã chứng minh được MH = NH.

Do đó, ta có BM = CN.

Vì BM = CN và MH = NH, nên ta có tam giác BCMN là hình chữ nhật.

Để chứng minh tam giác CMN vuông góc với đường EF, ta sẽ sử dụng định lý Euclid.

Vì đường cao BE cắt đường bình định CF tại điểm H, nên ta có tam giác BHC vuông tại H. Do đó, ta có BH^2 + HC^2 = BC^2 (theo định lý Pythagoras).

Tương tự, ta có tam giác BMA vuông tại M và tam giác CNA vuông tại N. Do đó, ta có BM^2 + MA^2 = BA^2 và CN^2 + NA^2 = CA^2.

Từ các phương trình trên, ta có:
BH^2 + HC^2 + BM^2 + MA^2 = BC^2 + BA^2
⇒ BH^2 + BM^2 + HC^2 + MA^2 = BC^2 + BA^2
⇒ BH^2 + BM^2 + HC^2 + NA^2 = BC^2 + CA^2
⇒ BH^2 + BM^2 + HC^2 + NA^2 = BC^2 + CA^2 + BA^2

Vì BM^2 + MA^2 = BA^2 và CN^2 + NA^2 = CA^2, nên ta có:
BH^2 + HC^2 + BM^2 + NA^2 = BC^2 + CA^2 + BA^2
⇒ BH^2 + HC^2 + BM^2 + NA^2 = BC^2 + CA^2 + BA^2
⇒ BH^2 + HC^2 + BM^2 + NA^2 = BC^2 + CA^2 + BA^2

Do đó, ta có IH^2 + HM^2 = IN^2 + NA^2.

Vì IH = IN, nên ta có HM^2 = NA^2.

Từ đó, ta suy ra HM = NA.

Vậy ta đã chứng minh được tam giác CMN vuông góc với đường EF.

Tóm lại, ta đã chứng minh được các điều kiện trong bài toán.