Chứng minh BDHC là hình bình hành

a) Ta có MH = MD và BM = MC (do M là trung điểm BC), nên tam giác MHD và MBC là tam giác đồng dạng (theo định lí đồng dạng cạnh góc). Do đó, ta có góc HMD = góc BMC và góc MDH = góc MCB. Nhưng góc BMC = góc MCB (vì tam giác ABC là tam giác cân tại C), nên góc HMD = góc MDH. Vậy tam giác MHD là tam giác cân tại D. Từ đó, ta có MH = HD. Mà MH = MD, nên MD = HD. Do đó, BDHC là hình bình hành.

b) Ta có MH = MD và BM = MC (do M là trung điểm BC), nên tam giác MHD và MBC là tam giác đồng dạng (theo định lí đồng dạng cạnh góc). Do đó, ta có góc HMD = góc BMC và góc MDH = góc MCB. Nhưng góc BMC = góc MCB (vì tam giác ABC là tam giác cân tại C), nên góc HMD = góc MDH. Vậy tam giác MHD là tam giác cân tại D.

Gọi I là trung điểm của AD. Ta có AI = ID (do I là trung điểm AD). Mà MO // AH (do MO và AH đều vuông góc với BC), nên tam giác MOI và AHI là tam giác đồng dạng (theo định lí đồng dạng cạnh góc). Do đó, ta có góc MOI = góc AHI và góc MIO = góc AIH. Nhưng góc AHI = góc MDH (vì tam giác AHD và MHD là tam giác cân tại D), nên góc MOI = góc MDH và góc MIO = góc AIH.

Vậy tam giác MOI và MHD là tam giác đồng dạng (theo định lí đồng dạng cạnh góc). Từ đó, ta có MO/MD = MI/MH. Nhưng MI = AI (do I là trung điểm AD), nên MO/MD = AI/MH. Mà AI = ID (do I là trung điểm AD) và MH = MD, nên MO/MD = ID/MD. Từ đó, ta có MO = ID.

Vậy điểm O cách đều 2 mút của đoạn thẳng BC.