a) Ta có DE là đường chéo của hình vuông ABCD, nên DE đi qua tâm O của hình vuông. Khi đó, theo định lí Ceva, ta có:
$\frac{AF}{FC} \cdot \frac{CI}{ID} \cdot \frac{DE}{EA} = 1$
Vì E là trung điểm của AB, nên $\frac{DE}{EA} = 1$. Ta có $\frac{AF}{FC} = 1$ do F là trung điểm của AC. Vậy ta có:
$\frac{CI}{ID} = 1$
Từ đó suy ra D là trung điểm của JC.

b) Ta có DE là đường chéo của hình vuông ABCD, nên DE đi qua tâm O của hình vuông. Khi đó, ta có:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$
Vì E là trung điểm của AB, nên $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AE}$. Vì D là trung điểm của JC, nên $\overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{DI}$. Ta có:
$2\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{DI}$
Từ đó suy ra ABDI là hình bình hành.

c) Ta có H là trung điểm của AI, nên $\overrightarrow{AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AI}$. Ta có:
$\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{HC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AI} + 2\overrightarrow{IC}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OD}$
Vậy ta có H là trung điểm của OD.

d) Ta có GO là đường chéo của hình vuông ABCD, nên GO đi qua tâm O của hình vuông. Khi đó, theo định lí Ceva, ta có:
$\frac{AJ}{JL} \cdot \frac{LD}{DF} \cdot \frac{FO}{OA} = 1$
Vì ABDI là hình bình hành, nên $\frac{AJ}{JL} = 1$. Ta có $\frac{LD}{DF} = 1$ do L là trung điểm của BD. Vì H là trung điểm của AI, nên $\frac{FO}{OA} = 1$. Vậy ta có:
$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
Từ đó suy ra A, J, L thẳng hàng.