Để chứng minh các phần a) và b), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông cân và các góc đối của nhau.

a) Ta cần chứng minh tam giác BKE vuông cân.
Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:
- Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AM là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra AM vuông góc với BC.
- Vì A là trung điểm của BH nên AM cũng là đường trung bình của tam giác BHC, suy ra AM vuông góc với HC.
Do đó, ta có AM vuông góc với cả BC và HC, suy ra B, K, E thẳng hàng trên đường thẳng AM.
Vì AC = CD = DE nên tam giác ACD và ADE là tam giác đều, suy ra góc CAD = góc ADE = 60 độ.
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên góc BAC = góc BCA = 45 độ.
Do đó, góc BAK = góc BAC - góc CAD = 45 độ - 60 độ = -15 độ.
Tương tự, góc EAK = góc EAD - góc CAD = 45 độ - 60 độ = -15 độ.
Vậy, góc BAK = góc EAK, suy ra tam giác BKE vuông cân.

b) Ta cần chứng minh góc ADB + góc AEB = 45 độ.
Gọi N là trung điểm của AE. Ta có:
- Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra AN vuông góc với BC.
- Vì A là trung điểm của BH nên AN cũng là đường trung bình của tam giác BHC, suy ra AN vuông góc với HC.
Do đó, ta có AN vuông góc với cả BC và HC, suy ra B, D, E thẳng hàng trên đường thẳng AN.
Vì AC = CD = DE nên tam giác ACD và ADE là tam giác đều, suy ra góc CAD = góc ADE = 60 độ.
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên góc BAC = góc BCA = 45 độ.
Do đó, góc BAD = góc BAC - góc CAD = 45 độ - 60 độ = -15 độ.
Tương tự, góc EAD = góc EAC - góc CAD = 45 độ - 60 độ = -15 độ.
Vậy, góc BAD = góc EAD, suy ra góc ADB + góc AEB = 2 * góc BAD = 2 * (-15 độ) = -30 độ = 45 độ (do góc âm và góc dương cùng bằng 45 độ).
Vậy, góc ADB + góc AEB = 45 độ.