Để tìm số tự nhiên x thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta sẽ sử dụng phép chia lấy dư.

a) Điều kiện: 50 chia x dư 2; 40 chia x dư 4; 27 chia x dư 3

Ta có thể viết các phương trình tương ứng như sau:
x ≡ 2 (mod 50)
x ≡ 4 (mod 40)
x ≡ 3 (mod 27)

Để giải hệ phương trình này, ta sẽ sử dụng định lý Hoà Bình Trung Hòa (Chinese Remainder Theorem).

Đầu tiên, ta tìm nghiệm của từng phương trình riêng lẻ.

Phương trình 1: x ≡ 2 (mod 50)
Có thể thấy x = 2, 52, 102, 152, ... là các nghiệm của phương trình này.

Phương trình 2: x ≡ 4 (mod 40)
Có thể thấy x = 4, 44, 84, 124, ... là các nghiệm của phương trình này.

Phương trình 3: x ≡ 3 (mod 27)
Có thể thấy x = 3, 30, 57, 84, ... là các nghiệm của phương trình này.

Tiếp theo, ta sẽ kết hợp các nghiệm của từng phương trình để tìm nghiệm chung.

Ta thấy rằng x = 84 là nghiệm chung của cả 3 phương trình, vì 84 thỏa mãn cả 3 điều kiện.

Vậy số tự nhiên x thỏa mãn là x = 84.

b) Điều kiện: x chia 5 dư 3; x chia 6 dư 4 và x < 59

Ta có thể viết các phương trình tương ứng như sau:
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 4 (mod 6)
x < 59

Để giải hệ phương trình này, ta sẽ sử dụng phương pháp thử và sai.

Ta thử từng số tự nhiên x từ 0 đến 59 và kiểm tra xem có thỏa mãn cả 3 điều kiện hay không.

Sau khi thử, ta thấy x = 43 là số tự nhiên duy nhất thỏa mãn cả 3 điều kiện.

Vậy số tự nhiên x thỏa mãn là x = 43.