Cho hình chữ nhật ABCD

a) Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi, ta cần chứng minh hai đường chéo của nó cắt nhau vuông góc và chia đôi nhau.

Gọi O là giao điểm của đường chéo AC và BD. Ta cần chứng minh AO = CO và BO = DO.

Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB. Tương tự, ta có CN = ND, BP = PD và AQ = QD.

Do đó, ta có:
AO = AM + MO = AB/2 + BC/2 = (AB + BC)/2
CO = CN + NO = CD/2 + BC/2 = (CD + BC)/2

Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AB = CD và BC = AD. Do đó, ta có:
AO = (AB + BC)/2 = (CD + AD)/2 = CO

Tương tự, ta có BO = DO.

Vậy, ta có AO = CO và BO = DO, tức là đường chéo AC và BD cắt nhau vuông góc và chia đôi nhau. Do đó, tứ giác ABCD là hình thoi.

b) Gọi I là trung điểm của MP. Ta cần chứng minh Q, I, N thẳng hàng.

Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB. Tương tự, ta có CN = ND.

Vì I là trung điểm của MP, nên IM = IP.

Do đó, ta có:
QN = QD + DN = (AD + CD)/2 + CD/2 = (AD + 2CD)/2
NI = ND + DI = CD/2 + MP/2 = CD/2 + (MP + MI)/2 = CD/2 + (MP + IP)/2 = CD/2 + (MP + MP)/2 = CD/2 + MP = (CD + 2MP)/2

Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AD = BC. Do đó, ta có:
QN = (AD + 2CD)/2 = (BC + 2CD)/2 = (BC + 2BC)/2 = 3BC/2
NI = (CD + 2MP)/2 = (BC/2 + 2MP)/2 = (BC/2 + 2BC/2)/2 = 3BC/4

Vậy, ta có QN = 3BC/2 và NI = 3BC/4.

Như vậy, ta có QN = 2NI, tức là Q, I, N thẳng hàng.

c) Để tính chu vi của hình thoi MNPQ, ta cần biết giá trị của QP và MP.

Theo đề bài, QP = 8 cm và MP = 6 cm.

Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB. Tương tự, ta có CN = ND.

Do đó, ta có:
MN = AM + AN = AB/2 + CD/2 = (AB + CD)/2 = AD/2
PQ = CN + CQ = CD/2 + AB/2 = (CD + AB)/2 = BC/2

Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AB = CD và BC = AD. Do đó, ta có:
MN = AD/2 = BC/2
PQ = BC/2

Vậy, ta có MN = PQ = BC/2 = AD/2.

Chu vi của hình thoi MNPQ là:
MN + NP + PQ + QM = (MN + NP) + (PQ + QM) = (AD/2 + BC/2) + (BC/2 + AD/2) = AD + BC = 2(AD + BC)

Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AD = BC. Do đó, chu vi của hình thoi MNPQ là 2(AD + BC) = 2(AD + AD) = 4AD.

Vậy, chu vi của hình thoi MNPQ là 4 lần độ dài cạnh AD.