Cho tam giác ABC có AB<AC

a) Ta có AE = AB và AF = AC, suy ra tam giác AEF là tam giác đều. Do đó, ta có EF = AE = AB.
Vì tam giác ABC là tam giác thường, nên ta có AB ≠ AC. Khi đó, ta có AB < AC. Vì vậy, ta có AB < AC = AF. Do đó, điểm F nằm giữa A và B.
Vì tam giác ABC là tam giác thường, nên ta có AB ≠ AC. Khi đó, ta có AC < AB = AE. Do đó, điểm E nằm giữa A và C.
Vậy, ta có tam giác AEF là tam giác đều và EF = AB. Khi đó, ta có tam giác AEF là tam giác cân tại E. Suy ra, ta có DE là đường phân giác của góc AEF.
Vì tam giác ABC là tam giác thường, nên ta có AB ≠ AC. Khi đó, ta có AB < AC = AF. Do đó, điểm F nằm giữa A và B. Suy ra, ta có tam giác AEF là tam giác cân tại E. Suy ra, ta có DE là đường phân giác của góc AEF.
Vậy, ta có DB = DE.

b) Ta có AB < AC = AF. Do đó, điểm F nằm giữa A và B. Suy ra, ta có tam giác AEF là tam giác cân tại E. Suy ra, ta có DE là đường phân giác của góc AEF.
Vì tam giác ABC là tam giác thường, nên ta có AB ≠ AC. Khi đó, ta có AC < AB = AE. Do đó, điểm E nằm giữa A và C. Suy ra, ta có tam giác AEF là tam giác cân tại E. Suy ra, ta có EF là đường phân giác của góc AFE.
Vậy, ta có tam giác AEF là tam giác cân tại E và tam giác AFE là tam giác cân tại F. Suy ra, ta có tam giác BFD = tam giác ECD.

c) Ta đã chứng minh trong phần a) và b) rằng tam giác AEF là tam giác cân tại E và tam giác AFE là tam giác cân tại F. Do đó, ta có EF là đường phân giác của góc AFE và góc AEF. Suy ra, ba điểm F, D, E thẳng hàng.

d) Gọi I là trung điểm của FC. Ta cần chứng minh 3 điểm A, D, I thẳng hàng.
Vì tam giác ABC là tam giác thường, nên ta có AB ≠ AC. Khi đó, ta có AC < AB = AE. Do đó, điểm E nằm giữa A và C.
Vì tam giác ABC là tam giác thường, nên ta có AB ≠ AC. Khi đó, ta có AB < AC = AF. Do đó, điểm F nằm giữa A và B.
Vậy, ta có điểm E nằm giữa A và C và điểm F nằm giữa A và B. Suy ra, ta có tam giác AEF là tam giác cân tại E và tam giác AFE là tam giác cân tại F. Suy ra, ta có EF là đường phân giác của góc AFE và góc AEF.
Vì I là trung điểm của FC, nên ta có IF = IC. Khi đó, ta có tam giác IFC là tam giác cân tại I. Suy ra, ta có IF là đường phân giác của góc FIC.
Vậy, ta có EF là đường phân giác của góc AFE và góc AEF, và IF là đường phân giác của góc FIC. Suy ra, ta có 3 điểm A, D, I thẳng hàng.