Để chứng minh D, C, K thẳng hàng, ta sẽ sử dụng tính chất của tứ giác điều hòa.

Gọi E là giao điểm của AB và CD. Ta cần chứng minh D, C, K thẳng hàng, tức là E, D, K thẳng hàng.

Theo định lí Menelaus, ta có:
$\frac{MB}{MC} \cdot \frac{CA}{AE} \cdot \frac{ED}{DB} = 1$

Vì M là trung điểm của BC, nên $\frac{MB}{MC} = 1$. Ta cũng biết rằng $\frac{CA}{AE} = 1$ vì I là trung điểm của AC. Do đó, ta có:
$\frac{ED}{DB} = 1$

Từ đây, ta suy ra tứ giác EDBE là tứ giác điều hòa.

Giả sử F là giao điểm của DK và BC. Ta cần chứng minh E, D, F thẳng hàng.

Theo định lí Menelaus, ta có:
$\frac{MB}{MC} \cdot \frac{CF}{FB} \cdot \frac{DK}{KD} = 1$

Vì M là trung điểm của BC, nên $\frac{MB}{MC} = 1$. Ta cũng biết rằng $\frac{DK}{KD} = 1$ vì K là trung điểm của IB. Do đó, ta có:
$\frac{CF}{FB} = 1$

Từ đây, ta suy ra tứ giác CFBF là tứ giác điều hòa.

Vậy, E, D, F thẳng hàng. Tuy nhiên, ta cần chứng minh D, C, K thẳng hàng. Để làm điều này, ta cần chứng minh E, D, K thẳng hàng.

Ta biết rằng tứ giác EDBE là tứ giác điều hòa và tứ giác CFBF là tứ giác điều hòa. Vì E, D, F thẳng hàng, nên ta có thể kết luận rằng tứ giác EKDF cũng là tứ giác điều hòa.

Do đó, E, D, K thẳng hàng.

Vậy, ta đã chứng minh được D, C, K thẳng hàng.