Để chứng minh rằng G là trọng tâm tam giác ABC, ta cần chứng minh rằng AG = 1/3 AB + 2/3 AC.

Trọng tâm của một tam giác là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác. Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và điểm giữa hai đỉnh còn lại.

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Ta có BM = MC = 1/2 BC.

Áp dụng định lý Thales, ta có AM song song với GD và AM = 2/3 AD.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên AG cắt BM tại một điểm N sao cho BN = NM.

Do đó, BN = NM = 1/3 BM = 1/3 (1/2 BC) = 1/6 BC.

Từ đó, ta có BM = 6 BN.

Áp dụng định lý Thales, ta có AG song song với BN và AG = 2/3 AN.

Vì AG song song với BN, nên AG cắt AM tại một điểm P sao cho AP = PM.

Do đó, AP = PM = 1/2 AM = 1/2 (2/3 AD) = 1/3 AD.

Từ đó, ta có AG = 2/3 AN = 2/3 (AP + PN) = 2/3 (1/3 AD + 1/6 BC) = 2/9 AD + 1/9 BC.

Nhưng ta biết rằng AB = 2 AD và AC = 2 BC.

Vậy, ta có AG = 2/9 AD + 1/9 BC = 2/9 (1/2 AB) + 1/9 (1/2 AC) = 1/3 AB + 2/3 AC.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng AG = 1/3 AB + 2/3 AC.