Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BD cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là E

Để chứng minh IJ vuông góc với JE, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông.

Ta có:
- Vì I là trung điểm của AB nên AI = IB.
- Vì J là trung điểm của DF nên DJ = JF.

Ta cần chứng minh IJ vuông góc với JE, tức là tam giác IJE là tam giác vuông.

Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh tam giác IJE có hai cạnh vuông góc với nhau.

Ta có:
- Tam giác ABD vuông tại B (do BD là đường cao của tam giác ABC).
- Tam giác ADF vuông tại F (do DF vuông góc với BC).

Vì tam giác ABD và tam giác ADF có cạnh chung là AD và góc vuông tại B và F, nên chúng là hai tam giác vuông cân.

Do đó, ta có:
- AB = AD (do I là trung điểm của AB).
- DF = AD (do J là trung điểm của DF).

Vậy AB = DF.

Từ đó, ta có tam giác IAB và tam giác DJF là hai tam giác cân có cạnh chung là AD.

Vì AI = IB và DJ = JF, nên ta có:
- Tam giác IAB và tam giác DJF là hai tam giác cân đồng dạng.
- Góc IAB = góc DJF (do cùng là góc ở đỉnh của hai tam giác cân đồng dạng).

Từ đó, ta suy ra góc IAJ = góc DJE.

Vì góc IAJ = góc DJE và góc JAI = góc JDE (do AI song song với DE), nên ta có tam giác IAJ và tam giác DJE là hai tam giác đồng dạng.

Vậy ta có:
- IJ // AE (do IJ song song với AE).
- IJ = 2AE (do I là trung điểm của AB và AE là đường cao của tam giác ABC).

Từ đó, ta suy ra tam giác IJE là tam giác vuông.

Vậy ta đã chứng minh được IJ vuông góc với JE.