Để chứng minh các phần a), b), c), ta sẽ sử dụng các định lí về trung điểm và đồng quy của tam giác.

a) Ta có m là trung điểm của AB, n là trung điểm của AC. Theo định lí về trung điểm, ta có MB = MA và NC = NA. Vì m là trung điểm của AB nên AM = MB. Tương tự, vì n là trung điểm của AC nên AN = NC. Từ đó, ta có AM = MB = AN = NC.

Giả sử ta vẽ đường thẳng MN, ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC. Theo định lí về đường trung bình, ta có MN // BC và MN = 1/2 BC.

b) Ta đã chứng minh được MN // BC và MN = 1/2 BC. Vì MQ là đường chéo của tam giác MNC, nên theo định lí đồng quy, ta có MQ cắt MN tại I sao cho MI = IQ.

Ta có MB = MA và NC = NA (do m và n là trung điểm của AB và AC). Từ đó, ta có MB = MA = MI và NC = NA = NI.

Vậy, ta có tam giác MBC và tam giác CQM là hai tam giác cân.

c) Ta đã chứng minh được MN // BC và MN = 1/2 BC.

Vì MQ là đường chéo của tam giác MNC, nên theo định lí đồng quy, ta có MQ cắt MN tại I sao cho MI = IQ.

Vì MN // BC, nên ta có góc MNI = góc BCI (cùng là góc ở đỉnh).

Vì tam giác MBC và tam giác CQM là hai tam giác cân, nên ta có góc MBC = góc CQM.

Từ đó, ta có góc MNI = góc BCI = góc MBC = góc CQM.

Vậy, ta có MN // BC và góc MNI = góc CQM, từ đó suy ra tam giác MNI và tam giác CQM đồng dạng.