1) Ta có M là trung điểm của BD, nên BM = MD. Vì tam giác ABD vuông tại A, nên AB < AD. Mà M là trung điểm của BD, nên BM = MD. Do đó, ta có AB < AD = BM + MD = BM + BM = 2BM. Vậy AB < 2BM.

Giả sử ABCD là hình chữ nhật. Khi đó, ta có AB = 2BM. Vậy AB < 2BM. Điều này mâu thuẫn với giả sử ABCD là hình chữ nhật. Vậy ABCD không phải là hình chữ nhật.

2) Gọi F là trung điểm của DA. Ta có MF là đường trung bình trong tam giác ADC, nên MF // AC và MF = 1/2AC. Vì M là trung điểm của AC, nên MF = MC. Do đó, ta có MC = 1/2AC.

Vì DA = DE, nên tam giác DAE là tam giác cân tại A. Khi đó, ta có MF là đường trung bình trong tam giác DAE, nên MF // DE và MF = 1/2DE. Vì MF = MC, nên ta có MC // DE và MC = 1/2DE.

Vậy ta có MC // DE và MC = 1/2DE. Khi đó, ta có MC = 1/2DE = 1/2DC. Vậy I là trung điểm của CD.

Ta có IB là đường trung bình trong tam giác CDE, nên IB // DE và IB = 1/2DE. Vì DE // MC và DE = 2MC, nên ta có IB // MC và IB = 1/2MC.

Vậy ta có IB // MC và IB = 1/2MC. Khi đó, ta có IB = 1/2MC = 1/2AC = 1/2BD = IE.

3) Gọi G là trung điểm của BD. Ta có MG là đường trung bình trong tam giác ABD, nên MG // AH và MG = 1/2AH. Vì AH vuông góc BD, nên MG vuông góc BD.

Vì M là trung điểm của AC, nên MG là đường trung bình trong tam giác ACG, nên MG // AC và MG = 1/2AC. Vì AC // BD, nên MG // BD.

Vậy ta có MG // BD và MG vuông góc BD. Khi đó, ta có MG là đường cao trong tam giác MBD. Vì MG = 1/2BD, nên ta có MG = 1/2BD.

Vậy ta có MG // BD và MG = 1/2BD. Khi đó, ta có MG = 1/2BD = 1/2CK. Vậy G là trung điểm của CK.

Vì MG // CK và MG = 1/2CK, nên ta có MG = 1/2CK. Khi đó, ta có MG = 1/2CK = 1/2BD = MH.

Vậy ta có MG // CK và MG = MH. Khi đó, ta có MG = MH. Vậy BDCK là hình thang cân.