Ta có a không chia hết cho 5, nên a^4 chia hết cho 5.
Tương tự, b không chia hết cho 5, nên b^4 chia hết cho 5.

Giả sử pa^4n + qb^4n chia hết cho 5, ta cần chứng minh p + q chia hết cho 5.
Ta có pa^4n + qb^4n chia hết cho 5, nghĩa là pa^4n + qb^4n ≡ 0 (mod 5).
Do a^4 chia hết cho 5, nên a^4 ≡ 0 (mod 5).
Tương tự, b^4 chia hết cho 5, nên b^4 ≡ 0 (mod 5).

Vậy, ta có pa^4n + qb^4n ≡ 0 (mod 5) => p*0 + q*0 ≡ 0 (mod 5) => 0 ≡ 0 (mod 5).
Do đó, p + q chia hết cho 5.

Ngược lại, giả sử p + q chia hết cho 5, ta cần chứng minh pa^4n + qb^4n chia hết cho 5.
Vì p + q chia hết cho 5, nên p + q ≡ 0 (mod 5).
Do a không chia hết cho 5, nên a^4 ≡ 1 (mod 5) (theo định lý Fermat nhỏ).
Tương tự, b không chia hết cho 5, nên b^4 ≡ 1 (mod 5).

Vậy, ta có pa^4n + qb^4n ≡ p*1^n + q*1^n ≡ p + q ≡ 0 (mod 5).
Do đó, pa^4n + qb^4n chia hết cho 5.

Vậy, ta đã chứng minh được pa^4n + qb^4n chia hết cho 5 khi và chỉ khi p + q chia hết cho 5.