Cách 1: 
1/x + 1/y + 1/z ≥ 1/√xy + 1/√yz + 1/√xz 
⇔ 2/x + 2/y + 2/z ≥ 2/√xy + 2/√yz + 2/√xz 
⇔ (1/x - 2/√xy + 1/y) + (1/y - 2/√yz + 1/z) + (1/x - 2/√xz + 1/z) ≥ 0 
⇔ (1/√x - 1/√y)² + (1/√y - 1/√z)² + (1/√x - 1/√z)² ≥ 0 
--> luôn đúng --> đpcm 
Dấu " = " xảy ra ⇔ 1/√x = 1/√y = 1/√z ⇔ x = y = z 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Cách 2: Với a,b > 0 ta có: 
(1/√a - 1/√b)² ≥ 0 
⇔ 1/a - 2/√ab + 1/b ≥ 0 
⇔ 1/a + 1/b ≥ 2/√ab , dấu " = " xảy ra ⇔ a = b 
Áp dụng bđt này ta có: 
{ 1/x + 1/y ≥ 2/√xy 
{ 1/y + 1/z ≥ 2/√yz . . . --> cộng vế với vế của ba bđt này lại ta có 
{ 1/x + 1/z ≥ 2/√xz 
2/x + 2/y + 2/z ≥ 2/√xy + 2/√yz + 2/√xz 
⇔ 1/x + 1/y + 1/z ≥ 1/√xy + 1/√yz + 1/√xz --> đpcm 
Dấu " = " xảy ra ⇔ x = y = z 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Cách 3: Cách này sử dụng nếu bạn đã học bđt Cô-si, nó tương tự y như cách 2 thôi 
Áp dụng bđt cô-si cho 2 số dương ta có: 
{ 1/x + 1/y ≥ 2/√xy 
{ 1/y + 1/z ≥ 2/√yz . . . --> cộng vế với vế của ba bđt này lại --> tương tự như trên 
{ 1/x + 1/z ≥ 2/√xz.