Cho tam giác A,B,C vuông tại A có đường cao AH

a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A, nên AH vuông góc với BC. Mà đường tròn (A;AH) có tâm là A và bán kính bằng AH, nên BD và CE là tiếp tuyến của đường tròn (A;AH). Vậy ta có BC là trung trực của đường tròn (A;AH).

b) Ta có BD và CE là tiếp tuyến của đường tròn (A;AH), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
∠BDA = ∠BAD (1)
∠CEA = ∠CAE (2)

Mà tam giác ABC vuông tại A, nên ∠BAD + ∠CAE = 90°. Kết hợp với (1) và (2), ta có:
∠BDA + ∠CEA = 90°

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

c) Ta có BD và CE là tiếp tuyến của đường tròn (A;AH), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
BD = BA (1)
CE = CA (2)

Mà tam giác ABC vuông tại A, nên BA = CA. Kết hợp với (1) và (2), ta có:
BD = CE

Vậy DE = BD + CE.