Để tính tổng m+n, ta cần tìm giá trị của m và n.

Ta có phương trình m64 + 23 = n2 + 705.

Đưa các số hạng chứa m về cùng một vế và các số hạng chứa n về cùng một vế, ta có:

m64 - n2 = 705 - 23.

Ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng:

(m8 + n)(m8 - n) = 682.

682 có thể phân tích thành các cặp thừa số như sau: 1 x 682, 2 x 341, 11 x 62, 22 x 31.

Để tìm các giá trị của m và n, ta giải các hệ phương trình sau:

m8 + n = 682 và m8 - n = 1,
m8 + n = 341 và m8 - n = 2,
m8 + n = 62 và m8 - n = 11,
m8 + n = 31 và m8 - n = 22.

Giải các hệ phương trình trên, ta tìm được các giá trị của m và n:

m = 341, n = 340 (từ hệ phương trình thứ 2),
m = 36, n = 25 (từ hệ phương trình thứ 4).

Tổng m+n là:

341 + 340 = 681,
36 + 25 = 61.

Vậy tổng m+n có thể là 681 hoặc 61.