Cho tam giác MNP cân tại M, ME là đường trung tuyến. Trên tia đối EM lấy điểm D sao cho EM = EF

a. Ta có ME là đường trung tuyến của tam giác MNP, nên ME = EN.
Vì tam giác MNP cân tại M, nên MN = MP.
Vì EM = EF, nên tam giác EFM cân tại E, suy ra EF = FM.
Từ đó, ta có:
MN = MP (tam giác MNP cân tại M)
EF = FM (tam giác EFM cân tại E)
ME = EN (đường trung tuyến của tam giác MNP)
Vậy tam giác MNFP là hình thoi.

b. Gọi K là điểm đối xứng của M qua P.
Ta cần chứng minh MF vuông góc FK.
Vì M là điểm đối xứng của K qua P, nên tam giác KMP là tam giác đối xứng của tam giác MNP qua P.
Do đó, ta có:
MP = MN (tam giác MNP cân tại M)
KP = KN (điểm đối xứng)
Vì tam giác MNP cân tại M, nên ME là đường trung tuyến của tam giác MNP, suy ra ME = EN.
Vì tam giác KMP là tam giác đối xứng của tam giác MNP qua P, nên ME cũng là đường trung tuyến của tam giác KMP, suy ra ME = EP.
Từ đó, ta có:
ME = EN = EP
EF = FM (tam giác EFM cân tại E)
Vậy tam giác EFM là tam giác cân tại E.
Do đó, ta có:
MF = EF = FM
Vậy MF vuông góc FK.