a) Để chứng minh rằng 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp.

Vì BD là đường cao của tam giác ABC, nên góc BAC và góc BDC là góc phụ của nhau. Tương tự, góc CBA và góc CEB cũng là góc phụ của nhau.

Do đó, ta có:
\(\angle BAC = \angle BDC\) và \(\angle CBA = \angle CEB\)

Vậy, ta có 4 góc nội tiếp BAC, BDC, CBA, CEB cùng nhìn vào cùng một cung tròn. Khi đó, ta có thể kết luận rằng 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Để xác định tâm O của đường tròn đó, ta có thể lấy giao điểm của hai đường trung trực của các cạnh BC và DE.

b) Để chứng minh EK song song với AH, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường cao.

Vì EK vuông góc với BC và AH là đường cao của tam giác ABC, nên EK song song với AH.

c) Để chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta sẽ sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp.

Vì 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn, nên ta có:
\(\angle BDC = \angle BEC\) (góc nội tiếp cùng nhìn vào cùng một cung)

Vì I là trung điểm của AH, nên ta có:
\(\angle BDI = \angle BEI\) (góc ngoại tiếp cùng nhìn vào cùng một cung)

Từ hai phương trình trên, ta có:
\(\angle BDI = \angle BEI = \angle BDC = \angle BEC\)

Vậy, ta có thể kết luận rằng ID là tiếp tuyến của đường tròn (O).