Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh: 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm O và vẽ đường tròn đó

a) Ta có:
- Góc BDC = 90° (do BD là đường cao của tam giác ABC)
- Góc BEC = 90° (do CE là đường cao của tam giác ABC)
- Góc BDE = Góc BCE (cùng là góc nhọn)
- Góc CED = Góc CBD (cùng là góc nhọn)
=> Tam giác BDE và tam giác CED có 2 góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng.
=> BD/BE = DE/EC
=> BD * EC = BE * DE
=> 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn có tâm O (theo định lý nửa chu vi).

b) Ta có:
- Góc EKB = 90° (do EK vuông góc với BC)
- Góc EKA = Góc BAC (cùng là góc nhọn)
=> Tam giác EKA và tam giác BAC có 2 góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng.
=> EK/AK = BA/AC
=> EK/AH = BA/AC (vì AK = AH)
=> EK song song với AH.

c) Ta có:
- Góc AID = Góc BAC (cùng là góc nhọn)
- Góc ABD = Góc ACD (cùng là góc nhọn)
=> Tam giác ABD và tam giác ACD có 2 góc bằng nhau, nên chúng đồng dạng.
=> AD/AB = AC/AD
=> AD^2 = AB * AC
=> AD^2 = AE * AC (vì 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn)
=> AD/AC = AE/AD
=> AD/AC = AE/AH (vì AD = AH)
=> AD/AH = AE/AC
=> ID song song với CE (vì ID là đường tiếp tuyến của (O) và CE là đường cao của tam giác ABC).