Chứng minh M là trung điểm của AD

a/ Ta có:
- AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, nên góc ACD = 90 độ.
- M là giao điểm của tiếp tuyến tại C và đường AD, nên góc CMD = 90 độ.
Vậy ta có tứ giác ACDM là tứ giác nội tiếp trong đó hai góc ở đỉnh A và M bằng nhau, nên M là trung điểm của AD.

b/ Ta có:
- OM là đường phân giác của góc CMD, nên góc OMC = góc DMC = 90 độ.
- CM là đường phân giác của góc CMD, nên góc CMO = góc CMD = 90 độ.
Vậy ta có tứ giác OMNC là tứ giác nội tiếp trong đó hai góc ở đỉnh O và N bằng nhau, nên BN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c/ Ta có:
- CH là đường cao của tam giác ABC, nên H là hình chiếu của C trên AB.
- I là trung điểm của CH, nên HI song song với AB.
- OM vuông góc với HI (do OM vuông góc với CM và CM song song với HI), nên OM vuông góc với AB.
Vậy ta có A, I, N thẳng hàng.